一个三体问题 08
本系列文章预计会有30个章节，这套文献将系统讲物理学系统本身，这里是第九季第8篇
--本文较长，预计阅读8min--
Hello，大家好，这里是Masir的物理学第九季专栏，后面几篇我们来聊聊物理学的混沌问题。
不久前听了万维钢讲《首要怀疑：从量子物理学到气候变化，不确定性科学如何帮助我们理解我们的混乱世界》这本书后对混沌有了新的认识，在此分享下。
（The Primacy of Doubt: From Quantum Physics to Climate Change, How the Science of Uncertainty Can Help Us Understand Our Chaotic World）
我们先来回顾下混沌是怎么产生的，以及要解决一个什么样的问题。
其实这一切都来自于热力学，每次物理学发展到一定的层次都是解决了旧问题然后产生了新问题。
准确来说这个问题是热力学第二定律引出的，开尔文在1851年提出的热力学第二定律的表述为：热全部转变为功的过程是不可能的，那些在这一过程中损失掉的不可测的热被称为“熵”。也就是说自然界的一切实际过程都是不可逆的。
从牛顿力学角度来看，过去、现在、未来的任何时刻都是一样的。因此，力学没有时间性，“演化”没有太深的意义。
而热力学就不同了，这里，熵把每个时刻加以区别，宇宙是真正地在演化。谈到不可逆时间，是与我们的头脑如何理解时间有关，而不是客观流逝。
经典力学把宇宙看成一个不折不扣的机器，而热力学似乎说这机器步步走向绝对的混乱。
19世纪中叶，在热力学领域涉及了不确定问题。热力学中的平衡态是指系统内部各点的温度、压强、浓度等参数处处相等，即分子的混乱度极高，这其实是一种混沌。
1865年，德国物理学家克劳修斯把热力学第二定律推广到无限的宇宙，即把熵增加原理加以推广，认为宇宙最终将处于一个熵极大的热平衡态，得出了“热寂”的结论。遗憾的是，当时的科学家对于混沌并不感兴趣，他们关心的是在微观上看来是混沌的现在，在宏观上会表现出什么样的规律或秩序。
第一个明确的混沌系统例子是19世纪末由法国伟大的数学家庞加莱给出的。
（朱尔·亨利·庞加莱）
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二体问题
二体问题（或者说开普勒问题）是研究两个质点在互相引力作用下的运动，我认为这个问题现在中学生就能解决...
从原理上讲，二体问题简单是因为有封闭形式的解析解，咱们可以用首次积分将运动学方程逐步化简。然而多了一个质点的三体问题却没有足够多的首次积分，从而导致没有解析解，这就导致特别复杂。
在对三体问题的研究过程中，庞加莱将很大的精力放在了对于周期轨道的寻找中（事实上，庞加莱认为研究周期轨道是人们理解复杂三体问题的唯一途径）
在过去的几十年里，借助于电子计算机的发展，研究者得以利用数值积分方法陆陆续续发现了三体系统中一些很规整的平面周期轨道。比如：
（最简单的“8字形”周期轨道）
（“蝴蝶 I 型”轨道）
（“蜻蜓”轨道）
（蚂蜂”轨道）
再深入探讨下这个问题👇。
1887年，瑞典国王奥斯卡二世悬赏征求天文学中的一个基本问题：太阳系稳定吗？
这是针对太阳、地球和月亮之间关系的一个问题，史称“三体问题”。
地球绕着太阳公转的轨道有非常精确的周期性，每绕一圈的用时都分秒不差。
使用牛顿力学，连一个大学生都能算出来地球轨道的公式：那是一个精准的椭圆。
那么问题来了。地球公转轨道容易算，本质上是因为这里只有两个星体：一个太阳，一个地球。
那要是有三个星体呢？你能不能也用一个公式描写它们的轨道呢？如果有N个星体呢？
这个问题听起来好像就是个数学练习题，实则无比困难。它困扰了科学家很多年，以至于瑞典国王都拿出奖金来悬赏求解。
一直到19世纪末，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré，1854－1912）才解决了这个问题。不过他这个解决可不是找到了公式——而是在数学上证明了没有公式。
庞加莱说，哪怕是三个星体的系统，也不存在轨道公式——因为它们的轨道没有周期性。
该问题的初衷是能否用牛顿定律预测通过引力相互作用的三个物体的长期运动。牛顿已经解决了二体问题。
但是，三体问题要复杂得多。提出这个问题是为了确定太阳系是否稳定，行星会维持还是会偏离目前的轨道。太阳系的运动是动力学领域一个极其复杂的问题。其运动肯定存在，而稳定性则是一个比存在性要复杂得多的问题。
我们来老老实实看个案例
面图中描写了四个质量一样的星体，它们完全依靠互相之间的引力运动。你希望这个系统越规整越好，所以起初，你把四个星体刻意摆好，让它们按照非常规则的4个椭圆轨道运动。
这个结构完全符合牛顿定律（图1）。
计算机模拟中，在很长的时间内，四个星体就是这样老老实实地在各自的椭圆轨道上运动，非常有规律。借助刘慈欣发明的说法，我们可以把这个局面称为恒纪元（图2、3）
而它们不会永远如此。这是一个非常不稳定的轨道系统。稍微有一点扰动，比如天外飞来一个小小的行星把其中一个星体稍微撞了一下，又或者仅仅是因为四颗星的质量不可能绝对相等——毕竟世界上哪有那么巧的事——系统变得不是那么精确了。
计算机模拟表明，这一点点的、不管多小的不精确，足以让四个椭圆轨道彻底崩溃。在这个模拟中，四个星体突然就被甩出去了。（图4）
下面这个动图看得更清楚！
那就是乱纪元。所以你可以想见，三体人过的是一种多么可怕的日子，嗨！
只要 N>2，就一定会有乱纪元。庞加莱这个发现，对人类的认知有深远的影响。
地球人看着太阳东升西落，月亮阴晴圆缺，一年春夏秋冬，自然就认为世界本质上就是周期性的。
我们生活中很多经验也是周期性的：人有生老病死，经济有热有冷，王朝有兴盛和衰落，我们相信未来出现的局面总能在过去找到相似的局面。
我们相信历史经验是有用的，社会是有规律的，我们相信这一切都有“公式”。
然而庞加莱说，那是你们的错觉。两体的简单局面是罕见的，N>2 才是正常的；而正常的局面不是周期性的，它通往混乱......
好，今天就到这里啦，未完待续，下篇继续。
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